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Big-O notation

아래 내용은 Big-O notation을 이해하기 위해 stackOverFlow의 답변 내용을 번역한 것입니다. 본 질문은 다음과 같습니다.

stackOverFlow 본 질문

또한, 이 내용만으로 설명이 저 개인적으로는 완벽하다고 생각하지 않아서 Khan academy의 내용을 추가적으로 첨부합니다. 내용 정리가 굉장히 잘 되어 있으니 참고하실 수 있을 것이라 생각됩니다.

Khan academy - Asymptotic notation

The logarithm 1.

 말의 목에 밧줄을 묶어놨다고 상상해보세요. 만약 밧줄을 말의 목에 바로 걸어두었다면 이것은 1입니다. 이제 밧줄을 막대기에 묶었다고 생각해보세요. 말은 밧줄을 당기기위해 더 많은 힘을 사용해야 합니다. 말이 밧줄을 당겨야 하는 시간은 밧줄의 강도와 막대기의 크기에 따라 다릅니다. 여기서 밧줄을 당기기 위해 자기 힘의 10배를 내야한다고 가정하겠습니다.

 이제 밧줄이 막대기에 1번 감겨 있다면, 힘을 10배 더 내야합니다. 2번 감으면 100배, 3번 감으면 1,000배의 힘을 내야 하는 것이죠. 우리는 여기서 각각의 줄 감기가 힘을 10배 씩 늘리는 것을 확인할 수 있습니다. loagrithm이란 특정 수를 몇 번 곱해야 원하는 숫자가 나오는가에 대한 것입니다. 예를 들어, base가 10일 경우(log10 n) 3은 1,000의 로그이며, 6은 1,000,000의 로그입니다.

그렇다면, O(log n)은 무슨 의미일까요?

위의 예시에서는 ‘성장률’ 이 O(log n)입니다. 각각의 추가적인 줄 감기는 매번 10배의 힘을 더 요구합니다.

Turns Max Force
0 1
1 10
2 100
3 1000
n 10^n

위의 예시에서는 밑이 10인 예시이지만, Big O에서는 밑은 중요하지 않습니다. 이제 1-100 사이의 수를 찾는 게임을 상상해보겠습니다.

Your Friend: Guess my number between 1-100! Your Guess: 50 Your Friend: Lower! Your Guess: 25 Your Friend: Lower! Your Guess: 13 Your Friend: Higher! Your Guess: 19 Your Friend: Higher! Your Friend: 22 Your Guess: Lower! Your Guess: 20 Your Friend: Higher! Your Guess: 21 Your Friend: YOU GOT IT!

이 경우 7번의 추론이 필요했습니다. 그런데 여기에 들어간 관계는 무엇인가요? 하나의 추론이 추가될 때마다 알 수 있는 최대 숫자는 어떻게 될까요?

Guesses Items
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
10 1024

  이 그래프를 확인해보면, 우리가 binary search를 사용할 경우 1-100 사이의 숫자를 찾는데에는 최대 7번의 추론이 필요합니다. 만약 1-128 사이의 숫자를 추론하려면 여전히 7번의 추론이면 충분하지만, 1-129의 사이의 숫자를 얻어내려면 8번의 추론이 필요합니다.(binary search는 밑이 2인 로그를 전제합니다.) 알아두어야 할 것은 Big O는 항상 최악의 경우를 전제로 합니다. 운이 좋다면 1번에 숫자를 찾아낼 수도 있습니다.

 그렇다면 O(n log n)은 어떨까요? 이는 2개의 루프가 중첩되어 있을 때, 바깥의 루프가 n의 속도로 증가하고(O(n)), 안쪽 루프가 log n의 속도로 증가할 때(O(log n)), 전체 runnign time은 O(n) * O(log n) = O(n log n)이 됩니다.(ex - merge sort)

The logarithm 2.

logarithmic running-time 함수의 가장 흔한 속성은

  • 어떤 행동을 수행할 다음 요소의 선택은 여러 가지 가능성 중 하나이다.
  • 오직 1개만 선택되어야 한다. 또는
  • 행동이 수행되는 요소는 n의 자리수이다.

 이 속성 때문에 전화번호부에서 사람을 찾는 것이 O(log n)입니다. 우리는 원하는 결과값을 얻기 위해 모든 사람을 볼 필요가 없습니다. 대신, 우리는 divide-and-conquer(분할 정복)해서 전체를 다 보기 전에 작은 부분만 보고도 결과 값을 얻을 수 있습니다. 물론 전화번호 양이 많은 책을 찾는 것은 여전히 많은 시간이 듭니다. 하지만, 양이 증가하는 속도는 검색 속도보다 빠르게 늘어나지는 않습니다.  우리는 전화번호부 예시를 다른 종류의 running time 계산 문제로 확장할 수 있습니다. 우리는 전화번호부를 비즈니스(노란색), 특별한 이름과 사람들(흰색) 등으로 나눌 수 있습니다. 하나의 전화번호는 최대 1명의 개인 혹은 비즈니스에 할당됩니다. 우리는 또한 특정한 페이지를 펼치는 것이 constant time이 든다는 것을 가정합니다.

  • O(1) (average case): 주어진 페이지에 사람의 이름이 있고, 바로 번호를 찾을 수 있는 경우
  • O(log n): 사람의 이름을 주고, 전화번호부 책의 중간을 펼칩니다. 그리고 그 부분에 찾는 사람의 이름이 있는지 확인합니다. 이름이 펼친 부분에 없고, 이름 순서가 빠르다면, 책의 처음과 그 중간 지점의 중간을 새롭게 펼칩니다. 반대로 이름 순서가 느리다면 중간지점을 처음지점으로 두고 책의 끝을 마지막으로 두어 새로운 중간지점을 펼칩니다. 이 작업을 이름을 찾을 때까지 반복합니다.
  • O(n): 전화번호에 숫자 5가 들어간 사람의 번호를 모두 찾는 작업
  • O(n): 번호를 주고, 사람 또는 비즈니스 번호를 찾는 작업
  • O(n log n): 전화번호 출력에 오류가 있어서 번호가 랜덤으로 정렬되었다. 이를 이름의 오름차순으로 정렬(AtoZ)하고, 차곡차곡 새로운 비어 있는 전화번호부에 등록하는 작업

내용 출처: The rope-logarithm example was grabbed from the excellent Mathematician’s Delight book by W.Sawyer.

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